1. 高阶协矩的构建方法

作为三阶标准化的交叉中心距，协偏度与偏度相关，正如协方差与方差相关一样。例如，如果两个随机变量的协偏度为正，那么它们往往会同时出现极大的正偏差；同样，如果两个随机变量的协偏度为负，那么它们将会同时出现极大的负偏差。Kraus和Litzenberger(1976)通过加入偏度将CAPM扩展到三阶矩模型，发现投资者倾向于厌恶方差而偏好一个正的偏度。如果资产收益有系统性偏度，那么期望收益应该包含一个对承担该风险的补偿，从这一直觉出发，Harvey和Siddique(2000a)将条件偏度纳入到资产定价模型中，并发现条件偏度有助于解释资产中期望收益的横截面变化，当加入规模因子与账面市值比因子之后，结果依旧显著。结果表明，动量效应与系统性偏度有关，相比于高期望收益的动量组合，低期望收益的动量组合有着更高的偏度。作为四阶标准化的交叉中心距，协峰度衡量的是两个随机变量同时变化的程度。如果两个随机变量表现出高度的协峰度，那么它们将倾向于同时经历极端偏差(不论这种偏差是同向或者异向)。Christie-David和Chaudhry(2001)利用四阶矩模型，选取了28中期货合约与9个市场代理来分析三阶矩与四阶矩解释期货市场的收益生成过程的能力，结果表明，二阶矩、三阶矩与四阶矩在解释期货收益时都是显著的，同时，回归结果表明，加入三阶矩和四阶矩之后，模型的解释力增加了。Dittmar(2002)研究了受偏好约束的非线性定价核(pricing kernel)与峰度偏好之间的关系，文章指出，引入非线性大大提高了定价核描述收益横截面的能力，特别是，当人力资本被纳入总财富的测度中时，二次和三次定价核能够拟合基于行业排序的投资组合的收益横截面。同时，每个非线性项对于提高定价核的拟合度的边际贡献是统计显著的。