篮球运动深受广大人民群众的喜爱。无论是在街头巷尾，还是在国际赛事，抑或是在大、中、小学校园，篮球运动都具有很强的吸引力与生命力。投篮是篮球比赛中得分的唯一手段，是各种技战术运用的目的[1]。也是篮球比赛中最为重要的制胜因素，因此投篮的命中率就成了教练员、运动员不断追求的目标。以至于许多专家学者都致力于篮球投篮教学训练和提高投篮命中率等方面的研究。袁传玲[2]运用“链条式”投篮技术教学模式，有效地提高了篮球投篮技术教学的效果。C.B.苏哈廖夫、B.H.普利德金[3]为了球队训练的现代化，运用远距离投篮结构模式训练，有效地完善投篮技术、提高投篮效果。韩莎莎[4]认为篮球运动中，身体对抗不可避免，加强核心力量的训练，能够保持身体在对抗中的稳定性，从而提高投篮的命中率。成惜今和张才超[5]运用系统科学理论方法，从投篮技术训练的整体性、系统性、针对性归纳和设计了投篮技术训练的原则和方法。李国立[6]分析了投篮手法、瞄准点、球的旋转等7个影响投篮命中率的因素，提出了提高篮球远距离投篮的训练方法。师珂[7]通过高速摄像机拍摄的方式研究了罚球线、罚球圈和三分线处原地单手肩上投篮命中率最高的出手角度或出手角度区间，并探明了影响出手角度的客观因素。秦尉富和李丽[8]对投篮的高度、水平速度和垂直速度等方面进行建模分析，认为投篮姿势和投篮优势手的使用，有利于提高篮球投篮命中率。李育中[9]通过对投篮过程中，篮球运动的轨迹进行分析，认为有效控制投篮出手角度和高度，对投篮命中率有着极其重要的影响。杨杨[10]利用Mimics和Ansys软件提出了一种基于有限元的篮球运动员投篮目标技术优化培训方法。通过以上的研究可以发现，在篮球的教学与训练中，投篮技术动作及命中率收到多种因素的影响，既有教练员、运动员的心理素质、心理水平以和动机等主观因素的影响，也有场地、器材、环境、气候和时间等客观因素的影响，还有裁判、观众、对手等其它因素的影响。这为在篮球训练和比赛中提高投篮命中率的训练增加了难度。在此背景下，能否提供一种可视化、可量化的篮球运动轨迹模拟，为篮球教练员和运动员提供清晰、便捷、准确的投篮路线判断，并在此基础上进行训练是极具意义的。

我们在之前的研究中，采用能源动力类数值计算软件ABAQUS对投篮过程进行建模，对实际投篮过程进行运动轨迹模拟，研究了不同投篮高度、投篮远度对篮球运动轨迹的影响，并针对身高1800mm的运动员在出手位置为篮球左下角45°时的篮球运动轨迹、投篮得分曲线及其数学表达式进行了研究[11]。为适用于不同身高、不同投篮特点的篮球运动员，本文将在之前研究基础上，进一步研究不同身高篮球运动员、不同出手位置、不同出手角度时的投篮命中轨迹、投篮得分曲线及其数学表达式。从而为篮球教练员的指导提供可量化的科学支持，为篮球运动员提高投篮命中率提供可视化的科学依据。

1 有限元分析

1.1 篮球模型的建立

采用能源动力类数值计算软件ABAQUS对篮球进行建模。篮球直径为246mm，重力加速度为9800mm/s，网格单元类型采用线性减缩积分单元CPE4R。篮球模型网格划分如图1所示，本模型共包括348个节点，311个单元。