致密油在北美地区得到了商业性的开发，给世界油气勘探开发带来了重大变革，正逐渐影响着世界能源供需的格局，也为鄂尔多斯盆地致密油的开发提供了可靠的借鉴[1]。随着三维地震、油藏精细描述、水平井体积压裂、“工厂化”作业等关键技术的进步，特别是体积压裂工艺的突破，国内外致密油气单井产量大幅攀升[2-6]。致密油体积压裂是在水力压裂过程中，使天然裂缝不断扩张和脆性岩石产生剪切滑移，形成2级及更多级次生裂缝，实现相互交错的裂缝网络，使储集层孔喉与裂缝达到极大限度的沟通，导流能力极大增强，储集层渗流阻力减小，同时长庆油田现场试验证实，压裂入地液的返排率较低，大量入地液滞留在水平井周围，形成高压区，地层压力增幅达16%～28%，起到“超前注水”补充能量的效果，使低渗透致密储集层渗流启动压力梯度自然“消失”，流体流动将表现出无“启动压力梯度”的特征[2-9]。国内外学者对低渗透油藏常规压裂油井产能预测已经做了很多研究，主要是利用等值渗流阻力法、势的叠加原理及保角变换原理等方法获得稳态产量解[10-16]。这些方法主要针对的是压裂缝为单一缝，压裂缝之间相互不连通的地质模型，而对于体积压裂形成复杂缝网体系的水平井的产能研究仍然较少。因此，笔者以鄂尔多斯盆地长7致密油为例，探讨体积压裂条件下水平井产能稳态解预测公式。
1 体积压裂水平井产能模型的建立
根据水平井实施分段体积压裂工艺的特点，建立模型时做以下假设：
（1）上、下封闭无限大均质地层，等温稳定渗流，不考虑重力作用的影响。
（2）油藏和裂缝内流体为单相流，且满足达西定律。
（3）水平井分段压裂，各段压裂参数相同，垂直裂缝完全穿透产层，形成相互交错的裂缝网络。
1.1 水平井与丛式井直线井排的相似性
鄂尔多斯盆地致密油水平井一般采用套管完井，体积压裂后不补孔，流体由各射孔点流入水平井筒，丛式井直线井排同样是套管完井，压裂后流体由射孔点流入井筒。两者的主要区别在于水平井中各个射孔点由水平井筒连通，流体经水平段汇集后流入直井段，丛式井是流体直接进入直井段（图1）。从渗流规律方面讲，水平井与丛式井直线井排的区别主要在于水平段中流体的流动规律。水平段的流动存在主流和径向流两种流动，水平段由趾端到跟端流量不断增加，流体的压力损失主要来自于井筒的摩阻和流体的加速度损失，依据靳博文[17]的研究结果，低产、低渗透油田水平井管流压降不大，可以忽略不计。因此，水平井的渗流问题可以转化为直线无限井排的渗流问题。

图1直线无限井排直井与水平井
Fig.1. horizontal wells and straight infinite vertical wells
1.2 水平井产能公式的建立
如图1所示，均质、等厚无限大地层中，将体积压裂水平井的渗流问题转化为一排两端无限延伸的井排的渗流问题，水平井每一压裂段相当于一口直井，压裂段间距2a相当于直井的井距2a。在图1的直角坐标中，无限井排井坐标为（2na-a，0），n=0，±1，±2，…，±∞。地层中任取一点M，根据势的叠加原理，直线无限井排井在M点的势为：
（1）
M点取在1号井井壁上：x=a-rw，y=0，则：
（2）
再把M点取在y轴较远处，即水平井的供给边缘：x=0，y=re，此时：
（3）
由式（2）、式（3）相减得：
（4）
由于当re＞a时，＞＞1，所以≈，又rw＜＜a，故：

式（4）可改写为：
（5）
式（5）改写成压力形式：
（6）
式（6）即为水平井的单段产量，当水平井压裂为N段时，可得到体积压裂水平井自然能量开采时的水平井产能公式：
（7）
式（7）只考虑了油藏中油相的单相流动时的油井产能公式，而对于实际的油藏，往往同时存在油、气、水三相流动。对于水压驱动的油藏，当油井流动压力低于饱和压力以后，由于原油脱气，油相的流动能力将会发生变化，此时油相的相对流动能力可表示为[18]：
（8）
式中，为油相相对流动能力，小数；为井下油层部位气油比，m3/m3；；、、分别为井下油层部位油、气、水的体积流量，m3/d；为饱和压力下原油体积系数；为含水率，小数；为天然气偏差系数；为原油溶解系数，m3/m3·MPa；为原油体积系数变化率，m3/MPa；为地面原油密度，g/cm3；pb为油藏饱和压力，MPa；pw为井底流动压力，MPa。
由式（7）和式（8）相结合，并转化为标准单位，得到考虑油、气、水三相流动的体积压裂水平井产能公式：
（9）
式中，q为水平井单井产量，t/d；k为储层压裂改造后等效渗透率，mD；h为储层有效厚度，m；pe为供给边界地层压力，MPa；为地层原油粘度，mPa.s；Bo为地层原油体积系数；re为水平井供给半径，m；rw为水平井井筒半径，m；2a为水平井压裂段间距，m，N为水平井压裂段数。
2 体积压裂水平井产能影响因素分析
由式（9）可以看出，体积压裂水平井产能与储层的有效厚度、压裂改造后等效渗透率成正比，与流体的粘度成反比。其它条件相同，水平井压裂段数越多，产能越大，即水平段越长，水平井单井产量越高。因此，在矿场实践中，优先选择有效厚度大的储层实施水平井，并尽量延长水平段长度，增大体积压裂改造规模以获得较大的等效渗透率，从而获得最大的单井产能。水平井压裂段间距2a和井底流压pw在公式中比较复杂，需要进一步深入讨论其对产能的影响。
2.1 压裂段间距的影响
在储层有效厚度、水平段长度、单段压裂改造规模、生产压差和含水率相同的条件下，段间距越小，单段产量越低，但是压裂段数增多，因此，需要理论计算确定水平井产能最大时的压裂段间距。假设储层有效厚度为10m，水平段长度为1500m，各段压裂改造规模相同，压裂改造后储层等效渗透率为0.8mD，油井含水率为20%，由式（9）计算不同段间距时水平井最大产能，结果如图2所示。可以看出，随压裂段间距的增大，水平井单井产能先增大后减小，存在最佳产能拐点，其趋势线符合二项式关系，在段间距为90～110m之间时水平井单井产能最大。
2.2 井底流压的影响
其它条件与上述假设相同，压裂段间距为80m，储层供给边界压力为16.8MPa，饱和压力为7.2MPa，按照式（9）绘制体积压裂水平井流入动态曲线（见图3）。可以看出，井底流压大于饱和压力时，水平井单井产量随井底流压减小而直线增大；当流压低于饱和压力时，产量增大曲线出现拐点；产量达到拐点时，产量随流压继续减小而减小。可见，当流压低于饱和压力时，地层原油在水平井筒附近开始脱气，逐步增大流体的渗流阻力，因此，水平井应将井底流压应控制在饱和压力附近，即流压略低于饱和压力时水平井获得最大单井产量。