二、抛物线上的正交弦垂足轨迹
问题:如图,已知A,B为抛物线y2=2px(P>0)上两点,O为坐标原点,若OA^OB,过O作OM^AB,M为垂足,求点M的轨迹方程。
解:设直线AB:x=my+t,交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2)
由x=my+t得y2-2pmy-2pt=0\ y1y2=-2pt
由→×→=0得x1x2+y1y2=0\(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1) y1y2+mt(y1+y2)+t2=0
\(m2+1)(-2pt)+mt×2pm+t2=0\-2pt+t2=0即t=2p或t=0
当t=0时直线AB过原点舍去;当t=2p时可知直线AB过定点N(2p,0)
\由OM^AB即OM^MN\点M在以OM为直径的圆上
\M的轨迹方程为:(x-p)2+y2=p2(扣除原点)