摘要：本文通过极限、定积分、无穷级数和开集的概念，说明“无穷”的思想贯穿高等数学的始终。多花时间体会“无穷”，对学习高等数学会起到事半功倍的效果。对数学专业的学生，尤为明显。
关键词：无穷，极限，收敛。
大学里的数学课叫做高等数学，简称高数。高数的“高等”体现在哪里？我认为体现在它能把一些公认的、但又很难说清楚的真理用极严谨的语言表达得让人叹为观止。读懂的人欣赏它，为它赞不绝口，不懂的人云里雾里，摸不着头脑。
一个很有趣的例子就是0.999…和1的大小关系。有人认为前者小于后者，但高数认为它们相等。数学上认为两个数不相等，肯定相差一个非零数，那请问如果0.999…和1不相等，它们到底差多少？答曰0.00…1，但0.999…后面无数个9，我们总可以通过增加9的个数来否定差0.00…1的说法。所以只能差0.000…，是的，无数个0，因为它们是相等的，差的就是零。还有个方法可以证明它们相等，0.333…＝1/3，相信没人会否认这个等式，等式两边同时乘以3，就得到0.999…=1。哈哈，是不是很神奇，外表看起来迥异的两个数，竟然相等，就是因为小数点后面有无穷个9！本文仅通过几个概念来展现高数的“无穷”之美。
首先就是高数的精华之一——极限。两千多年前，就产生了极限的思想，比如用圆内接正多边形的面积逼近圆的面积。随着正多边形边数的增加，它的面积越来越接近圆的面积，“越来越近”就是人们一开始对极限的体会，用现在的极限概念来表达，就是正多边形边数趋于无穷，正多边形面积趋于圆的面积，或者说正多边形面积的极限是圆的面积。这个例子说明了什么是极限，但这描述性的语言毕竟不是严谨的数学表达。“极限”的定义困扰了数学家两千多年。人们在相当长的一段时间里无法用数学语言刻画“无限接近”，说不清楚圆内接正多边形与圆面积之差这个不是零却接近于零的量。
作者：来鑫