摘 要：国外关于数学错误的研究经历了从错误诊断、成因分析和分类，到错误发现、合理性分析和教育功能研究的过程，本文从错误用于教学的实证研究、应用数学错误的理论、错误的教育价值三个方面，对有关研究进行梳理和总结。综述发现，数学错误深层次的教育价值在于引发探究、促进探究，而错误作为教学因素、线索和契机的教育价值均能在探究中够得以体现；运用数学错误进行探究教学不仅能够达成纠错、发现错误并避免错误的目的，而且加深学生对数学知识的理解。此外，聚焦错误的探究教学也有助于在数学教学中落实“立德树人”的教育根本任务。
关键词：数学错误；教育价值；探究教学
1 引言
人类在学习这一终身事业中不可避免会犯各种错误，事实上，翻开数学史的画卷，每一页上都可以找到前人的错误，可以说，一部数学的历史，也是人类纠正错误的历史。同样，错误也是学生数学学习过程中普遍存在的现象。歌德（J. W. von Goethe, 1749～1832）曾经说过：“错误和真理之间的关系，就像睡梦同清醒之间的关系一样。一个人从错误中醒来，就会以新的力量走向真理。”[1]错误并非没有价值，相反，它是通往成功的阶梯。因此，数学错误自然就成了数学教育的研究课题。
早在20世纪20年代，国外学者做了30多项研究来确定学生在算术学习中所出现的错误[2]，后来的研究经历了从错误诊断、成因分析和错误分类，到错误发现、错误合理性分析和教育功能研究，再到将错误运用于数学教学实践的过程。国内有关数学错误的研究主要聚焦于错误分类和成因分析，个别学者认识到错误是一种教学资源，进而尝试利用这种资源教会学生纠错或避错[3]，或通过“尝试错误”来帮助学生反思[4]。但国内学者对于“将错误用于教学”的研究还处于尝试阶段，我们需要借鉴他山之石，确定未来研究的方向和方法。
新的课程标准提出了“培养数学核心素养”的课程目标，学生数学核心素养的评价将不可或缺，相应地，对错误分析和实践应用也必然提出新的要求。为了在数学教学中更有效地利用学生的错误，首先必须明确数学错误所具有的教育价值。
那么，数学错误有哪些教育价值？在教学中如何应用数学错误才能有效地发挥错误的教育价值？本文试图通过考察国外相关研究文献来回答上述问题，为数学错误的理论和实践研究以及新课程的实施提供借鉴。
作者：李 霞