摘要：讨论了摩擦接触系统的建模与求解问题。对建立的罚因子模型理论研究，分 析了罚因子的选取对系统求解的影响。同时，将边界元法离散后的方程组与严格凸 二次函数的极值问题等价，证明了转化后的极小值问题解的存在唯一性和最优性条 件，对数值进行了优化，也为实际工程中的应用提供了有效的途径。
关键词：罚因子规划模型；极小值问题；解的存在唯一性；最优性条件
0 引言
继有限元法出现并广泛应用之后，人们挖掘出了一种具有潜在价值的新型数 值解析方法--边界元法。该方法因在处理数值问题方面具有独特性而受到大量推 崇。近些年来，对于在各向异性问题和非线性问题方面等工程领域也取得了很大 进展，使其在理论与应用方面具有很大的广泛[1-4] 性。
工程中存在着大量的摩擦接触问题，如齿轮与齿轮的啮合，滚针与滚道槽的接触以及轧机轴承接触等。接触区通常要考虑接触面的性质、载荷的承受水平或 者加载模式等，所以接触问题属于边界待定的非线性问题[5-6] 。对于非线性问题， 由于解的高度收敛和较大规模性，求解起来低速、低效、耗时。在本文中，针对 边界元法解决非线性问题的独特性，利用最优化理论知识[7-9]的对接触问题进行 了数值优化[10-11]，证明其等价方程组及转化为极值问题。用边界元法解决摩擦问 题的过程中，将所形成的大型稀疏矩阵线性方程组的解转化为二次规划罚因子模 型的解，同时证明了解的性质。通过相关证明的转化，把需要大规模复杂计算的 方程转变为省时低存储方程组来求解，从而提高了计算效率和计算准确度，为新 兴数值计算领域研究提供了有力数学支撑。
4 结论 (1) 将弹性摩擦接触问题的求解转化为关于罚因子的优化问题，分析了罚因 子的选取对系统求解的影响，为罚因子数学规划方法求解弹性摩擦接触问题提供 重要的数值信息。 (2) 研究了转换后数学模型的方程组的系数矩阵的特点，并对罚因子规划模 型进行了分析，推导出用边界元法解系统模型等价的方程组，同时将方程组转化 为极值问题，从而将有约束的非线性边值问题转化为无约束求最小值的罚因子优 化问题。 (3) 在极值问题中，引入严格凸二次函数，并以此作为新的目标函数作为摩 擦接触系统的模型，证明了最优解的存在唯一性，最后给出最优性条件，完善并 优化了模型的计算。
作者：于春肖